Un poco de matematicas

Hace poco, un amigo me presento un problema matematico que habia sido incluido en las olimpiadas matematicas. Al primcipio parece algo muy complicado de hacer, pero increiblemente se me ocurrieron dos formas de resolverlo:

He aqui el problema y las soluciones:

Usando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6, sin repetir, se forman 3 números de dos cifras cada uno. Se suman los tres números así obtenidos. ¿Cuáles son todos los resultados distintos que se pueden obtener mediante este pocedimiento?

LA SOLUCION:

Nota aclaratoria: las combinaciones posibles son muchas, tantas como factorial de seis = 720. Sin embargo, que los resultados sean todos distintos, habrá que ver...

Se pide sumar tres numeros formados por numeros del 1 al 6 sin repetirlos. Eso se puede expresar asi:

Sean los numeros a,b,c,d,e,f

ad
+ be
cf
______________
X

O sea:

X = 10*a + 10*b + 10*c + d + e + f

Para ejemplificar, en la secuencia: 1,2,3,4,5,6 quedaria:

x= 10*1 + 10*2 + 10*3 + 4 + 5 + 6 = 10 + 20 + 30 + 4 + 5 + 6 = 75

Sacando factor comun:

X = 10*(a + b + c) + ( d + e + f)

Puede verse que en 10*(a + b + c) no interesa el orden de los sumandos a, b y c. Por lo tanto, si tomo la terna 1 2 3, no importa si es 3 2 1 ó 1 3 2.
Se trata de combinaciones de 6 elementos tomados de a tres.
Entonces para la primera terna, la cantidad de combinaciones es:

C ₆³ = 6!/3!*(6-3)! = 20


Esas veinte combinaciones son:
1+ 2+ 3 = 6
1+ 2+ 4 = 7
1+ 2+ 5 = 8
1+ 2+ 6 = 9
1+ 3+ 4 = 8
1+ 3+ 5 = 9
1+ 3+ 6 = 10
1+ 4+ 5 = 10
1+ 4+ 6 = 11
1+ 5+ 6 = 12
2+ 3+ 4 = 9
2+ 3+ 5 = 10
2+ 3+ 6 = 11
2+ 4+ 5 = 11
2+ 4+ 6 = 12
2+ 5+ 6 = 13
3+ 4+ 5 = 12
3+ 4+ 6 = 13
3+ 5+ 6 = 14
4+ 5+ 6 = 15


Puede verse que hay 10 que se repiten, por lo que el total sin repetirse son 10

Para cada terna elegida en el primer termino (a + b + c) solo hay una unica terna posible en el segundo termino ya que son mutuamente excluyentes.
Esto es:
Si selecciono 1, 2 y 3 para la primera terna, me quedan el 4, 5 y 6 para la segunda terna. Pero no importa como combine el 4, 5 y 6, la suma siempre dara lo mismo y, por lo tanto, no se generan resultados distintos.

Finalmente, es la primera terna la que manda y el total de resultados distintos es 10.

Esos valores, que pueden calcularse en funcion del criterio anterior, son:

75
84
93
102
111
120
129
138
147
156

Algunos links:
http://www.oma.org.ar/omanet/misc/00-02.htm
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/concurso2004/ver/06/combinatoria_archivos/combsin_marco.htm

Otra forma de resolverlo:

Los numeros generados van a estar en la siguiente secuencia:
Primer numero: 14+25+36=75
Ultimo numero: 41+52+63=156

Porlos criterios de divisibiliad por 9 y por 3:
La suma de los digitos: 1+2+3+4+5+6 = 21

21 es divisible por tres, por lo tanto, la suma de cualquier serie de numeros que los contenga a todos ha ser tambien divisibles por tres.
21 NO es divisible por nueve, por lo tanto las sumas tampoco lo son y hay que descartar aquellas que sean divisibles por 9:

La serie queda:

75
78
84
87
93
96
102
105
111
114
120
123
129
132
138
141
147
150
156

O sea: 75+3+3+3+3+3+3+3......., exceptuando los que son multiplos de nueve (cada tres sumas)

La suma progresiva de los digitos: 1+2+3+4+5+6+7=21 ----->2+1=3, debe mantenerse en las diferentes sumas pertenecientes a la serie solicitada. Este ultimo razonamiento resulta de saber que deben sumarse "todos" los numeros del 1 la 6, que ninguno va a faltar y que el hecho de que ocupen la decena o unidad no interfiere en el resultado final de la suma,
ya que la suma progresiva no contempla decenas ó unidades.
O sea da lo mismo suma.progresiva (12+34+56 ) que suma.progresiva(21+54+63), etc. etc.
Por lo tanto, de la lista de arriba solo quedan aquellos cuya suma progresiva es 3:

75
84
93
102
111
120
129
138
147
156

Gracias Daniel y Fernando por tentarme a pensar de vez en cuando!!!